最初に、それぞれの単語のイメージを簡単にいうと、次のような感じなんだ。
engage
「課題とか問題に継続的に関与する」イメージ
involve
「具体的な活動に熱心に参加する」イメージ
以下、例文を交えて詳しいく書いていくね。
engage
辞書を引くと、「関わる（させる）」とか「従事する（させる）」と言う訳が載っているよね。engageの意味は「束縛＋約束」のイメージなんだ。
googleでengageを画像検索すると、歯車が噛み合ってる絵が出てくるんだけど、ちょうどそんなイメージだよ。でも決して悪い意味イメージではなくて、自ら望んでやっている感じだね。
幾つかの例文をTEDスピーチから引用するね。
So I decided to engage this particular problem.
ですから、この問題に関ることを決心しました
engageの例文（TEDスピーチから引用）
If we want to engage someone in the process of opening boxes to try and find pies, we want to make sure it's neither too easy, nor too difficult, to find a pie.
もし誰かに箱を開けて パイを得る作業をさせたいとしたら 獲得の難易度は簡単すぎでも 難しすぎでもないようにしなければいけません
engage inの例文（TEDスピーチから引用）
ちなみに、２つ目の例文は、ゲームに如何に夢中にさせるかという文脈なので、engageが使われてるんだ。決して作業=engageじゃないよ。
involve
involveを辞書で引くと、「巻き込む」とか「熱中させる」と言う訳が載ってるね。この意味はまさに「巻き込む」のイメージだよ。
もうちょっと具体的に言えば、「活動」なんかに「熱意と積極性を持って参加する」感じだね。googleでinvolve を画像検索すると、多くの人が手をつないだりしている絵が出てくるよね。まさにそうイメージなんだよ。
例によってTEDスピーチから例文を拾うね。
Indeed, to implement the slogan of Health for All, we will need to involve all in that particular journey, and in the case of mental health, in particular we would need to involve people who are affected by mental illness and their caregivers.
「すべての人々に健康を」のスローガンを実行するには その過程にすべての人々が 関わる必要があります 更にメンタルヘルスにおいては 特に精神障害の患者と その介護者の協力が必要です
involve inの例文（TEDスピーチから引用）
That if we involve them in their education, if we have them discuss the real issues that they confront -- that our whole society confronts -- and if we give them skills that enable them to engage the real world, that magic will happen.
もし、彼らを教育するなら もし、彼等が直面する現実問題 私たちの全社会が直面する問題について、議論させるなら また、現実世界に関与するスキルを与えるなら 魔法が起きると信じています。
involve in とengageの例文（TEDスピーチから引用）
肝心のinvolveとengageの違いなんだけど、ここまで読んでもイマイチ釈然としないよね。involveとengageの使い分けで、参考になりそうな説明を見つけたのでリンクを張っておくよ。（英語だけど）
だから、冒頭の問題はinvolveを使ってこんな感じで表現すればいいんだね
You need to involve Mr. Degawa in the project.
このプロジェクトには出川さんを巻き込まなければならないよ。
最後に、engageと言えば、「婚約」と言うことで、幾つか婚約に関する例文をあげるね。
engagement ring
婚約指輪（engage ringじゃないよ）
He is engaged to Degawa.
彼は出川さんと婚約してる（状態を表す）
He gets engaged to Degawa.
彼は出川さんと婚約する（と言う行動）
※get+過去分詞、形容詞で～になる（口語）
ちなみに、僕はすっかり家族にinvolved inです。
サ～ンキュ～!
